सिद्ध कीजिए कि निम्नलिखित संख्या अपरिमेय है: $\sqrt{11}$

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{11}$ एक परिमेय संख्या है।
अतः,ऐसे सह-अभाज्य पूर्णांक $a$ और $b$ $(b \neq 0)$ मौजूद हैं कि $\sqrt{11} = \frac{a}{b}$ हो।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $11 = \frac{a^2}{b^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 11b^2$।
इसका अर्थ है कि $a^2$,$11$ से विभाज्य है। चूँकि $11$ एक अभाज्य संख्या है,इसलिए $a$ भी $11$ से विभाज्य होना चाहिए।
मान लीजिए किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = 11k$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $(11k)^2 = 11b^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $121k^2 = 11b^2$ या $b^2 = 11k^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $b^2$,$11$ से विभाज्य है,और परिणामस्वरूप,$b$ भी $11$ से विभाज्य है।
चूँकि $a$ और $b$ दोनों $11$ से विभाज्य हैं,उनका एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $11$ है,जो हमारी इस धारणा का खंडन करता है कि $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{11}$ एक अपरिमेय संख्या है।